Как вычислить определенный интеграл
по формуле трапеций и методом Симпсона?

Численные методы – достаточно большой раздел высшей математики и серьезные учебники по данной теме насчитывают сотни страниц. На практике, в контрольных работах традиционно предлагаются для решения некоторые задачи по численным методам, и одной из распространенных задач является – приближенное вычисление определенных интегралов . В этой статье я рассмотрю два метода приближенного вычисления определенного интеграла – метод трапеций и метод Симпсона .

Что нужно знать, чтобы освоить данные методы? Прозвучит забавно, но можно вообще не уметь брать интегралы. И даже вообще не понимать, что такое интегралы. Из технических средств потребуется микрокалькулятор. Да-да, нас ждут рутинные школьные расчёты. А еще лучше – закачайте мой калькулятор-полуавтомат для метода трапеций и метода Симпсона . Калькулятор написан в Экселе и позволит в десятки раз уменьшить время решения и оформления задач. Для экселевских чайников прилагается видеомануал! К слову, первая видеозапись с моим голосом.

Сначала зададимся вопросом, а зачем вообще нужны приближенные вычисления? Вроде бы можно найти первообразную функции и использовать формулу Ньютона-Лейбница, вычислив точное значение определенного интеграла. В качестве ответа на вопрос сразу рассмотрим демонстрационный пример с рисунком.

Вычислить определенный интеграл

Всё было бы хорошо, но в данном примере интеграл не берётся – перед вами неберущийся, так называемый интегральный логарифм . А существует ли вообще этот интеграл? Изобразим на чертеже график подынтегральной функции :

Всё нормально. Подынтегральная функция непрерывна на отрезке и определенный интеграл численно равен заштрихованной площади. Да вот только одна загвоздка – интеграл не берётся. И в подобных случаях на помощь как раз приходят численные методы. При этом задача встречается в двух формулировках:

1) Вычислить определенный интеграл приближенно, округляя результат до определённого знака после запятой . Например, до двух знаков после запятой, до трёх знаков после запятой и т.д. Предположим, получился приближенный ответ 5,347. На самом деле он может быть не совсем верным (в действительности, скажем, более точный ответ 5,343). Нашазадача состоит лишь в том , чтобы округлить результат до трёх знаков после запятой.

2) Вычислить определенный интеграл приближенно, с определённой точностью . Например, вычислить определённый интеграл приближенно с точностью до 0,001. Что это значит? Это значит, мы должны отыскать такое приближенное значение, которое по модулю (в ту или другую сторону) отличается от истины не более чем на 0,001.

Существуют несколько основных методов приближенного вычисления определенного интеграла, который встречается в задачах:

Отрезок интегрирования разбивается на несколько частей и строится ступенчатая фигура, которая по площади близка к искомой площади:

Не судите строго за чертежи, точность не идеальна – они лишь помогают понять суть методов.

Идея аналогична. Отрезок интегрирования разбивается на несколько промежуточных отрезков, и график подынтегральной функции приближается ломаной линией:

Таким образом, наша площадь (синяя штриховка) приближается суммой площадей трапеций (красный цвет). Отсюда и название метода. Легко заметить, что метод трапеций даёт значительно лучшее приближение, чем метод прямоугольников (при одинаковом количестве отрезков разбиения). И, естественно, чем больше более мелких промежуточных отрезков мы рассмотрим, тем будет выше точность. Метод трапеций время от времени встречается в практических заданиях, и в данной статье будет разобрано несколько примеров.

Метод Симпсона (метод парабол) . Это более совершенный способ – график подынтегральной функции приближается не ломаной линией, а маленькими параболками. Сколько промежуточных отрезков – столько и маленьких парабол. Если взять те же три отрезка, то метод Симпсона даст ещё более точное приближение, чем метод прямоугольников или метод трапеций.

Чертеж строить не вижу смысла, поскольку визуально приближение будет накладываться на график функции (ломаная линия предыдущего пункта – и то практически совпала).

Задача на вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона – самая популярное задание на практике. И методу парабол будет уделено значительное внимание.

Как вычислить определенный интеграл методом трапеций?

Сначала формула в общем виде. Возможно, она будет не всем и не сразу понятна… да Карлссон с вами – практические примеры всё прояснят! Спокойствие. Только спокойствие.

Рассмотрим определенный интеграл , где – функция, непрерывная на отрезке . Проведём разбиение отрезка на равных отрезков:
. При этом, очевидно: (нижний предел интегрирования) и (верхний предел интегрирования). Точки также называют узлами .

Тогда определенный интеграл можно вычислить приближенно по формуле трапеций :
, где:
шаг ;
– значения подынтегральной функции в точках .

Пример 1

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций. Результаты округлить до трёх знаков после запятой.

а) Разбив отрезок интегрирования на 3 части.
б) Разбив отрезок интегрирования на 5 частей.

Решение:
а) Специально для чайников я привязал первый пункт к чертежу, который наглядно демонстрировал принцип метода. Если будет трудно, посматривайте на чертёж по ходу комментариев, вот его кусок:

По условию отрезок интегрирования нужно разделить на 3 части, то есть .
Вычислим длину каждого отрезка разбиения: . Параметр , напоминаю, также называют шагом .

Сколько будет точек (узлов разбиения)? Их будет на одну больше , чем количество отрезков:

Ну а общая формула трапеций сокращается до приятных размеров:

Для расчетов можно использовать обычный микрокалькулятор:

Обратите внимание, что, в соответствии с условием задачи, все вычисления следует округлять до 3-го знака после запятой .

Окончательно:

С геометрической точки зрения мы вычислили сумму площадей трёх трапеций (см. рис. выше) .

б) Разобьём отрезок интегрирования на 5 равных частей, то есть . Зачем это нужно? Чтобы Фобос-Грунт не падал в океан – увеличивая количество отрезков, мы увеличиваем точность вычислений.

Если , то формула трапеций принимает следующий вид:

Найдем шаг разбиения:
, то есть, длина каждого промежуточного отрезка равна 0,6.

При чистовом оформлении задачи все вычисления удобно оформлять расчетной таблицей:

В первой строке записываем «счётчик»

Как формируется вторая строка, думаю, всем видно – сначала записываем нижний предел интегрирования , остальные значения получаем, последовательно приплюсовывая шаг .

По какому принципу заполняется нижняя строка, тоже, думаю, практически все поняли. Например, если , то . Что называется, считай, не ленись.

В результате:

Ну что же, уточнение, и серьёзное, действительно есть! Если для 3 отрезков разбиения приближённое значение составило, то для 5 отрезков . Таким образом, с большой долей уверенности можно утверждать, что, по крайне мере .

Пример 2

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций с точностью до двух знаков после запятой (до 0,01).

Решение: Почти та же задача, но немного в другой формулировке. Принципиальное отличие от Примера 1 состоит в том, что мы не знаем , НА СКОЛЬКО отрезков разбивать отрезок интегрирования, чтобы получить два верных знака после запятой. Иными словами, мы не знаем значение .

Существует специальная формула, позволяющая определить количество отрезков разбиения, чтобы гарантированно достигнуть требуемой точности, но практике она часто трудноприменима. Поэтому выгодно использовать упрощенный подход.

Сначала отрезок интегрирования разбивается на несколько больших отрезков, как правило, на 2-3-4-5. Разобьем отрезок интегрирования, например, на те же 5 частей. Формула уже знакома:

И шаг, естественно, тоже известен:

Но возникает еще один вопрос, до какого разряда округлять результаты ? В условии же ничего не сказано о том, сколько оставлять знаков после запятой. Общая рекомендация такова: к требуемой точности нужно прибавить 2-3 разряда . В данном случае необходимая точность 0,01. Согласно рекомендации, после запятой для верности оставим пять знаков (можно было и четыре):

В результате:
, обозначим приближение через .

После первичного результата количество отрезков удваивают . В данном случае необходимо провести разбиение на 10 отрезков. И когда количество отрезков растёт, то в голову приходит светлая мысль, что тыкать пальцами в микрокалькулятор уже как-то надоело. Поэтому еще раз предлагаю закачать и использовать мой калькулятор-полуавтомат (ссылка в начале урока).

Для формула трапеций приобретает следующий вид:

В бумажной версии запись можно спокойно перенести на следующую строчку.

Вычислим шаг разбиения:

Результаты расчётов сведём в таблицу:


При чистовом оформлении в тетрадь длинную таблицу выгодно превратить в двухэтажную.

В результате:

Теперь вычислим расхождение между приближениями:

Здесь используем знак модуля, поскольку нас интересует абсолютная разность , а не какой результат больше, а какой – меньше.

Что касается дальнейших действий, то лично мне на практике встречалось 2 пути решения:

1) Первый способ – это «сравнение в лоб». Поскольку полученная оценка погрешности больше , чем требуемая точность:, то необходимо ещё раз удвоить количество отрезков разбиения до и вычислить уже . С помощью экселевского калькулятора готовый результат можно получить в считанные секунды: . Теперь снова оцениваем погрешность: . Полученная оценка меньше , чем требуемая точность: , следовательно, вычисления закончены. Осталось округлить последний (наиболее точный) результат до двух знаков после запятой и дать ответ.

2) Другой, более эффективный способ основан на применении так называемого правила Рунге , согласно которому мы ошибаемся в оценке определённого интеграла на самом деле не более чем на . В нашей задаче: , таким образом, надобность в вычислении отпадает. Однако за скорость решения в данном случае пришлось расплатиться точностью: . Тем не менее, такой результат приемлем, поскольку наш «лимит на ошибку» как раз и составляет одну сотую.

Что выбрать? Ориентируйтесь на вашу методичку или предпочтения преподавателя.

Ответ: с точностью до 0,01 ( при использовании правила Рунге) .

Пример 3

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций с точностью до 0,001.

Перед вами опять неберущийся интеграл (почти интегральный косинус). В образце решения на первом шаге проведено разбиение на 4 отрезка, то есть . Полное решение и примерный образец чистового оформления в конце урока.

Как вычислить определенный интеграл по формуле Симпсона?

Если вы искали на данной страничке только метод Симпсона, то настоятельно рекомендую сначала прочитать начало урока и просмотреть хотя бы первый пример. По той причине, что многие идеи и технические приемы будут схожими с методом трапеций.

И снова, начнём с общей формулы
Рассмотрим определенный интеграл , где – функция, непрерывная на отрезке . Проведём разбиение отрезка на чётное количество равных отрезков. Чётное количество отрезков обозначают через .

На практике отрезков может быть:
два :
четыре :
восемь :
десять :
двадцать :
Другие варианты не припоминаю.

Внимание! Число понимается как ЕДИНОЕ ЧИСЛО. То есть, НЕЛЬЗЯ сокращать, например, на два, получая . Запись лишь обозначает , что количество отрезков чётно . И ни о каких сокращениях речи не идёт

Итак, наше разбиение имеет следующий вид:

Термины аналогичны терминам метода трапеций:
Точки называют узлами .

Формула Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла имеет следующий вид:
, где:
– длина каждого из маленьких отрезков или шаг ;
– значения подынтегральной функции в точках .

Детализируя это нагромождение, разберу формулу подробнее:
– сумма первого и последнего значения подынтегральной функции;
– сумма членов с чётными индексами умножается на 2;
– сумма членов с нечётными индексами умножается на 4.

Пример 4

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,001. Разбиение начать с двух отрезков

Интеграл, кстати, опять неберущийся.

Решение: Сразу обращаю внимание на тип задания – необходимо вычислить определенный интеграл с определенной точностью . Что это значит, уже комментировалось в начале статьи, а также на конкретных примерах предыдущего параграфа. Как и для метода трапеций, существует формула, которая сразу позволит определить нужное количество отрезков (значение «эн») чтобы гарантированно достичь требуемой точности. Правда, придётся находить четвертую производную и решать экстремальную задачу. Кто понял, о чём я, и оценил объем работы, тот улыбнулся. Однако здесь не до смеха, находить четвертую производную от такой подынтегральной функции будет уже не мегаботан, а клинический психопат. Поэтому на практике практически всегда используется упрощенный метод оценки погрешности.

Начинаем решать. Если у нас два отрезка разбиения , то узлов будет на один больше : . И формула Симпсона принимает весьма компактный вид:

Вычислим шаг разбиения:

Заполним расчетную таблицу:

Еще раз комментирую, как заполняется таблица:

В верхнюю строку записываем «счётчик» индексов

Во второй строке сначала пишем нижний предел интегрирования , а затем последовательно приплюсовываем шаг .

В третью строку заносим значения подынтегральной функции. Например, если , то . Сколько оставлять знаков после запятой? Действительно, в условии опять об этом ничего не сказано. Принцип тот же, что и в методе трапеций, смотрим на требуемую точность: 0,001. И прибавляем дополнительно 2-3 разряда. То есть, округлять нужно до 5-6 знаков после запятой.

В результате:

Первичный результат получен. Теперь удваиваем количество отрезков до четырёх: . Формула Симпсона для данного разбиения принимает следующий вид:

Вычислим шаг разбиения:

Заполним расчетную таблицу:


Таким образом:

Найдём абсолютное значение разности между приближениями:

Правило Рунге для метода Симпсона очень вкусное. Если при использовании метода средних прямоугольников и метода трапеций нам даётся «поблажка» в одну треть, то сейчас – аж в одну пятнадцатую:
, и точность здесь уже не страдает:

Но для полноты картины я приведу и «простецкое» решение, где придётся сделать дополнительный шаг: так как больше требуемой точности: , то необходимо еще раз удвоить количество отрезков: .

Формула Симпсона растёт, как на дрожжах:

Вычислим шаг:

И снова заполним расчетную таблицу:

Таким образом:

Заметьте, что здесь вычисления желательно уже расписать более подробно, поскольку формула Симпсона достаточно громоздка, и если сразу бУхнуть:
, то выглядеть сиё бухло будет как халтура. А при более детальной записи у преподавателя сложится благостное впечатление, что вы добросовестно стирали клавиши микрокалькулятора в течение доброго часа. Детальные вычисления для «тяжелых» случаев присутствуют в моём калькуляторе.

Оцениваем погрешность:

Погрешность меньше требуемой точности: . Осталось взять наиболее точное приближение , округлить его до трёх знаков после запятой и записать:

Ответ : с точностью до 0,001

Пример 5

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,0001. Разбиение начать с двух отрезков

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока.

В заключительной части урока рассмотрим еще пару распространенных примеров

Пример 6

Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Вычисления проводить с точностью до третьего знака после запятой.

Упражнения.

5.1 Вычислить по квадратурной формуле прямоугольников при n = 3 интеграл и сравнить с точным значением интеграла:

а) , I = 1; б) , I = ln 2;

в) , I = ; г) , I = 0,75.

5.2 Вычислить по квадратурной формуле прямоугольников при n = 5 интеграл и оценить погрешность интегрирования:

5.3 Определить число узлов n , которое нужно использовать для вычисления интеграла с помощью формулы прямоугольников с точностью до 0,01:

а) ; б) ; в) ; г) .

5.4 Вычислить по квадратурной формуле прямоугольников интеграл с точностью до 0,01:

Рассмотрим определенный интеграл I (6) и изобразим график подынтегральной функции (рис. 17). Разобьем отрезок интегрирования на n равных отрезков точками , где (рис. 17).

Рисунок 17

f(х 1)

f(х 2)

f(х i )

f(х n -1)

f(х n )

f(х 0)

f(х i - 1)

f(х n- 2)

x 0

x 1

x 2

x i- 1

x i

x n-1

x n

x n- 2

а

b

х

у

О

Длина каждого отрезка разбиения . При этом очевидно, что для точек разбиения будет справедливо соотношение:

причем x 0 = a и x n = b .

Соединим отрезками точки графика функции с координатами . В результате получим ломанную, которая является графиком кусочно-линейной функции (рис. 17). На каждом из отрезков разбиения функция задается формулой

В точках она принимает те же значения, что и функция :

т.е. функция осуществляет кусочно-линейную интерполяцию функции на отрезке (рис 17).

Вычислим интеграл:

Этот результат имеет простой геометрический смысл: фигура, ограниченная снизу отрезком оси Ох , сверху отрезком функции (13), с боков вертикальными прямыми и , представляет собой трапецию с основаниями длины и и высотой h , площадь которой определяется формулой (14) (рис. 17).

Интеграл от функции по всему отрезку является суммой интегралов (14):

Квадратурная формула

дает приближенное значение интеграла I :

где – остаточный член (специальное обозначение). В квадратурной формуле (16), которая называется квадратурной формулой трапеций , узлами являются точки , весовые множители все, кроме двух при и , одинаковы и равны , а весовые коэффициенты при и равны . С точностью до формула (16) выражает площадь криволинейной трапеции, соответствующую интегралу I , через сумму площадей трапеций (14) (рис. 17).

Формула (7) или (7ʹ) для величины строилась как интегральная сумма. При выводе формулы (15) для понятие интегральной суммы не использовалось, но ее так же можно рассматривать как интегральную сумму. Следовательно, если функция интегрируема на , то в силу определения определенного интеграла

т.е. условия сходимости квадратурной формулы трапеций (16) в этом случае выполняются.

Предельные соотношения (17) доказывают принципиальную возможность вычисления определенного интеграла от произвольной интегрируемой функции методом трапеции с любой точностью ε за счет выбора числа n точек разбиения отрезка и соответствующего шага h .

Рассмотрим основной вопрос, связанный с организацией реального вычислительного процесса: каким нужно взять n , чтобы добиться при вычислении определенного интеграла (6) требуемой точности ε . Для этого необходимо провести оценку остаточного члена (погрешности) . В связи с этим подынтегральная функция должна быть не только интегрируема, но и дважды непрерывно дифференцируема на отрезке . Если выполняются все описанные выше условия, то для остаточного члена имеет место следующая оценка

где М – положительное число удовлетворяющее условию (11).

При заданной точности ε условие (18) позволяет определить число узлов n , которое нужно использовать при вычислении определенного интеграла (6). Для этого достаточно использовать соотношение

Пример 1. Вычислить по квадратурной формуле трапеций при n = 3 интеграл

Сравнить с точным значением интеграла.

Решение.

Так как n = 3, то шаг

И учитывая, что и :

Значит по формуле (15) имеем

Следовательно, .

Сравним полученное приближенное значение с точным значением интеграла

Ответ: , .

Пример 2. Определить число узлов n , которое нужно использовать для вычисления интеграла с помощью формулу трапеций

с точностью до 0,01.

Решение.

Для определения n , воспользуемся соотношение (19)

По условию задачи и ε = 0,01. Учитывая, что подынтегральная функция и ее первая и вторая производные соответственно равны и , то на отрезке интегрирования справедливо = . Значит М = 1. В результате получим соотношение

Из которого определим n :

а , то возьмем n = 6.

Следовательно, чтобы достичь точности ε = 0,01, необходимо взять 7 узлов.

Ответ: n = 6.

Пример 3. Вычислить по квадратурной формуле трапеций интеграл

с точностью до 0,01.

Решение.

Определим сначала число узлов n , которое необходимо использовать для вычисления интеграла. По условию задачи , ε = 0,01 и . Так как

и для выполняется

то М = 2. Подставляя значения a , b , ε и М в формулу (12) получим соотношение:

Из которого найдем n .

а , то возьмем n = 5.

Так как n = 5, то шаг

Найдем значения , используя соотношение

И учитывая, что , а b :

Теперь вычислим значения подынтегральной функции в точках , :

Значит по формуле (15) имеем

Следовательно, .

Ответ: с точностью до 0,01.

Пусть снова взято разбиение отрезка на части , . Приближённо заменим площадь под графиком , лежащую над промежутком разбиения , на площадь трапеции, параллельными основаниями которой служат отрезки, задающие значения функции в концах промежутка, то есть и (см. рис.).

Тогда площадь такой трапеции равна, очевидно,

Суммируя все площади , получаем квадратурную формулу трапеций :

Это та же формула, что была получена при комбинировании формул левых и правых прямоугольников, в которой мы обозначали правую часть через .

Заметим, что при подсчёте площади каждой очередной трапеции достаточно вычислить значение функции лишь в одной новой точке -- в правом конце очередного промежутка , поскольку точка была правым концом предыдущего отрезка и значение в этой точке уже было вычислено при нахождении площади предыдущей трапеции.

Если все отрезки разбиения выбираются одинаковой длины , то формула трапеций приобретает вид

Все значения функции , кроме и , встречаются в этой формуле по два раза. Поэтому, объединяя равные слагаемые, мы можем записать формулу трапеций в виде

Пусть функция имеет вторую производную , сохраняющую знак на интервале . Как легко видно из предыдущего рисунка, характер ошибки этой квадратурной формулы таков: если , то есть если график является выпуклым кверху, то и, значит, ; если же и график имеет выпуклость книзу, то и .

Если сравнить это с изученными выше значениями ошибки формулы центральных прямоугольников, то мы видим, что для функций, вторая производная которых сохраняет знак на отрезке интегрирования, знаки ошибок и противоположны. Возникает желание соединить формулу трапеций и формулу центральных прямоугольников так, чтобы эти ошибки по возможности скомпенсировались. Для того, чтобы понять, какую комбинацию формул следует брать, нам нужно выяснить, какую величину имеют эти ошибки и в зависимости от выбора шага . Эти оценки ошибок имеют и самостоятельное значение, поскольку позволяют узнать точность полученного при применении соответствующей квадратурной формулы приближённого значения интеграла.

Метод Монте-Карло для вычисления одномерных ин­тегралов обычно не применяется, так как для получения высокой точности более удобны квадратурные формулы. Этот метод оказывается более эффективным при вычис­лении кратных интегралов, когда кубатурные формулы для достижения малой погрешности слишком громоздки и требуют большого объема вычислений.

При использовании квадратурных или кубатурных формул, число операций быстро возрастает с ростом раз­мерности интеграла. Например, если для вычисления од­номерного интеграла методом трапеций с заданной точностью необходимо вычислить сумму порядка N слагаемых, то для вычисления двойного интеграла тем же методом необходимо сложить порядка N 2 слагаемых, а для тройно­го интеграла число слагаемых составляет порядка N 3 .

Число испытаний N , требующихся для достижения заданной точности ε приближенного значения, в методе Монте-Карло есть величина порядка ине зависит от размерности интеграла .

Применяется следующий критерий выбора между кубатурной форму­лой р -го порядка точности и методом Монте-Карло для вычисления с точностью ε кратного интеграла функции m переменных:

1) если число измерений m < 2р , лучше использовать кубатурные или квадратурные формулы ;

2) если m > 2р – ме­тод Монте-Карло .

Например, если р = 1, тройные интегралы выгоднее вычислять методом Монте-Карло, а одномерные – квад­ратурными формулами.

Если р = 2, лучше вычислять методом Монте-Карло пя­тимерные интегралы, а одномерные, двойные и трой­ные – квадратурными или кубатурными формулами.

Рассмотрим конкретные формулы метода Монте-Кар­ло для вычисления кратных интегралов, получающиеся способом, который применялся для вывода формулы (9.7).

Пусть требуется вычислить двойной интеграл

Проведем серию из N испытаний случайной точки (x i , y i ), где x i a , b ], a y i равномерно распределены на отрезке [с , d ]. Вычислим интеграл (9.9) по формуле

Для тройного интеграла аналогично получим формулу

где x i равномерно распределены на отрезке [a , b ], y i – на отрезке [с , d ], a z i – на отрезке [р , q ]; N – число испы­таний.

Для m -кратного интеграла формула метода Монте-Карло имеет вид

Сначала формула в общем виде. Возможно, она будет не всем и не сразу понятна… да Карлссон с вами – практические примеры всё прояснят! Спокойствие. Только спокойствие.

Рассмотрим определенный интеграл , где – функция, непрерывная на отрезке . Проведём разбиение отрезка на равных отрезков:
. При этом, очевидно: (нижний предел интегрирования) и (верхний предел интегрирования). Точки также называют узлами .

Тогда определенный интеграл можно вычислить приближенно по формуле трапеций :
, где:
– длина каждого из маленьких отрезков или шаг ;
– значения подынтегральной функции в точках .

Пример 1

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций. Результаты округлить до трёх знаков после запятой.

а) Разбив отрезок интегрирования на 3 части.
б) Разбив отрезок интегрирования на 5 частей.

Решение:
а) Специально для чайников я привязал первый пункт к чертежу, который наглядно демонстрировал принцип метода. Если будет трудно, посматривайте на чертёж по ходу комментариев, вот его кусок:

По условию отрезок интегрирования нужно разделить на 3 части, то есть .
Вычислим длину каждого отрезка разбиения: . Параметр , напоминаю, также называется шагом .

Сколько будет точек (узлов разбиения)? Их будет на одну больше , чем количество отрезков:

Таким образом, общая формула трапеций сокращается до приятных размеров:

Для расчетов можно использовать обычный микрокалькулятор:

Обратите внимание, что, в соответствии с условием задачи, все вычисления следует округлять до 3-его знака после запятой .

Окончательно:

Напоминаю, что полученное значение – это приближенное значение площади (см. рисунок выше).

б) Разобьём отрезок интегрирования на 5 равных частей, то есть . Зачем это нужно? Чтобы Фобос-Грунт не падал в океан – увеличивая количество отрезков, мы увеличиваем точность вычислений.

Если , то формула трапеций принимает следующий вид:

Найдем шаг разбиения:
, то есть, длина каждого промежуточного отрезка равна 0,6.

При чистовом оформлении задачи все вычисления удобно оформлять расчетной таблицей:

В первой строке записываем «счётчик»

Как формируется вторая строка, думаю, всем видно – сначала записываем нижний предел интегрирования , остальные значения получаем, последовательно приплюсовывая шаг .

По какому принципу заполняется нижняя строка, тоже, думаю, практически все поняли. Например, если , то . Что называется, считай, не ленись.

В результате:

Ну что же, уточнение, и серьёзное, действительно есть!
Если для 3-х отрезков разбиения , то для 5-ти отрезков . Таким образом, с большой долей уверенности можно утверждать, что, по крайне мере .

Пример 2

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций с точностью до двух знаков после запятой (до 0,01).

Решение: Почти та же задача, но немного в другой формулировке. Принципиальное отличие от Примера 1 состоит в том, что мы не знаем , НА СКОЛЬКО отрезков разбивать отрезок интегрирования, чтобы получить два верных знака после запятой. Иными словами, мы не знаем значение .

Существует специальная формула, позволяющая определить количество отрезков разбиения, чтобы гарантированно достигнуть требуемой точности, но практике она часто трудноприменима. Поэтому выгодно использовать упрощенный подход.

Сначала отрезок интегрирования разбивается на несколько больших отрезков, как правило, на 2-3-4-5. Разобьем отрезок интегрирования, например, на те же 5 частей. Формула уже знакома:

И шаг, естественно, тоже известен:

Но возникает еще один вопрос, до какого разряда округлять результаты ? В условии же ничего не сказано о том, сколько оставлять знаков после запятой. Общая рекомендация такова: к требуемой точности нужно прибавить 2-3 разряда . В данном случае необходимая точность 0,01. Согласно рекомендации, после запятой для верности оставим пять знаков (можно было и четыре):

В результате:

После первичного результата количество отрезков удваивают . В данном случае необходимо провести разбиение на 10 отрезков. И когда количество отрезков растёт, то в голову приходит светлая мысль, что тыкать пальцами в микрокалькулятор уже как-то надоело. Поэтому еще раз предлагаю закачать и использовать мой калькулятор-полуавтомат (ссылка в начале урока).

Для формула трапеций приобретает следующий вид:

В бумажной версии запись можно спокойно перенести на следующую строчку.

Вычислим шаг разбиения:

Результаты расчётов сведём в таблицу:


При чистовом оформлении в тетрадь длинную таблицу выгодно превратить в двухэтажную.

Учебно-воспитательные задачи:

• Дидактическая цель. Познакомить учащихся с методами приближённого вычисления определённого интеграла.
• Воспитательная цель. Тема данного занятия имеет большое практическое и воспитательное значение. Наиболее просто к идее численного интегрирования можно подойти, опираясь на определение определённого интеграла как предела интегральных сумм. Например, если взять какое-либо достаточно мелкое разбиение отрезка [a ; b ] и построить для него интегральную сумму, то её значение можно приближённо принять за значение соответствующего интеграла. При этом важно быстро и правильно производить вычисления с привлечением вычислительной техники.

Основные знания и умения. Иметь понятие о приближённых методах вычисления определённого интеграла по формулам прямоугольников и трапеций.

Обеспечение занятия

• Раздаточный материал. Карточки-задания для самостоятельной работы.
• ТСО. Мультипроектор, ПК, ноутбуки.
• Оснащение ТСО. Презентации: “Геометрический смысл производной”, “Метод прямоугольников”, “Метод трапеций”. (Презентации можно взять у автора).
• Вычислительные средства: ПК, микрокалькуляторы.
• Методические рекомендации

Вид занятия. Интегрированное практическое.

Мотивация познавательной деятельности учащихся. Очень часто приходится вычислять определённые интегралы, для которых невозможно найти первообразную. В этом случае применяют приближённые методы вычисления определённых интегралов. Иногда приближённый метод применяют и для “берущихся” интегралов, если вычисление по формуле Ньютона-Лейбница не рационально. Идея приближённого вычисления интеграла заключается в том, что кривая заменяется новой, достаточно “близкой” к ней кривой. В зависимости от выбора новой кривой можно использовать ту или иную приближённую формулу интегрирования.

Последовательность занятия.

1. Формула прямоугольников.
2. Формула трапеций.
3. Решение упражнений.

План занятия

1. Повторение опорных знаний учащихся.

Повторить с учащимися: основные формулы интегрирования, сущность изученных методов интегрирования, геометрический смысл определённого интеграла.

1. Выполнение практической работы.

Решение многих технических задач сводится к вычислению определённых интегралов, точное выражение которых сложно, требует длительных вычислений и не всегда оправдано практически. Здесь бывает вполне достаточно их приближённого значения.

Пусть, например, необходимо вычислить площадь, ограниченную линией, уравнение которой неизвестно. В этом случае можно заменить данную линию более простой, уравнение которой известно. Площадь полученной таким образом криволинейной трапеции принимается за приближённое значение искомого интеграла.

Простейшим приближённым методом является метод прямоугольников. Геометрически идея способа вычисления определённого интеграла по формуле прямоугольников состоит в том, что площадь криволинейной трапеции АВСD заменяется суммой площадей прямоугольников, одна сторона которых равна , а друга - .

Если суммировать площади прямоугольников, которые показывают площадь криволинейной трапеции с недостатком [Рисунок1], то получим формулу:

[Рисунок1]

то получим формулу:

Если с избытком

[Рисунок2],

то

Значения у 0 , у 1 ,..., у n находят из равенств , к = 0, 1..., n .Эти формулы называются формулами прямоугольников и дают приближённый результат. С увеличением n результат становится более точным.

Итак, чтобы найти приближённое значение интеграла , нужно:

Для того, чтобы найти погрешность вычислений, надо воспользоваться формулами:

Пример 1. Вычислить по формуле прямоугольников . Найти абсолютную и относительную погрешности вычислений.

Разобьём отрезок [a, b ] на несколько (например, на 6) равных частей. Тогда а = 0, b = 3 ,

х k = a + k х
х 0 = 2 + 0 = 2
х 1 = 2 + 1 = 2,5
х 2 = 2 + 2 =3
х 3 = 2 + 3 = 3
х 4 = 2 + 4 = 4
х 5 = 2 + 5 = 4,5

f (x 0) = 2 2 = 4
f (x 1) = 2 ,5 2 = 6,25
f (x 2) = 3 2 = 9
f (x 3) = 3,5 2 = 12,25
f (x 4) = 4 2 = 16
f (x 5) = 4,5 2 = 20,25.

х	2	2,5	3	3,5	4	4,5
у	4	6,25	9	12,25	16	20,25

По формуле (1):

Для того, чтобы вычислить относительную погрешность вычислений, надо найти точное значение интеграла:

Вычисления проходили долго и мы получили довольно-таки грубое округление. Чтобы вычислить этот интеграл с меньшим приближением, можно воспользоваться техническими возможностями компьютера.

Для нахождения определённого интеграла методом прямоугольников необходимо ввести значения подынтегральной функции f(x) в рабочую таблицу Excel в диапазоне х с заданным шагом х = 0,1.

1. Составляем таблицу данных (х и f(x)). х f(x). Аргумент , а в ячейку В1 – слово Функция 2 2,1 ). Затем, выделив блок ячеек А2:А3, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А32, до значения х=5 ).
2. Далее вводим значения подынтегральной функции. В ячейку В2 необходимо записать её уравнение. Для этого табличный курсор необходимо установить в ячейку В2 и с клавиатуры ввести формулу =А2^2 (при английской раскладке клавиатуры). Нажимаем клавишу Enter . В ячейке В2 появляется 4 . Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В2. Автозаполнением копируем эту формулу в диапазон В2:В32.
   В результате должна быть получена таблица данных для нахождения интеграла.
3. Теперь в ячейке В33 может быть найдено приближённое значение интеграла. Для этого в ячейку В33 вводим формулу = 0,1*, затем вызываем Мастер функций (нажатием на панели инструментов кнопки Вставка функции (f(x)) . В появившемся диалоговом окне Мастер функции-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция - функцию Сумм. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно Сумм. В рабочее поле мышью вводим диапазон суммирования В2:В31. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В33 появляется приближённое значение искомого интеграла с недостатком (37,955 ) .

Сравнивая полученное приближённое значение с истинным значением интеграла (39 ), можно видеть, что ошибка приближения метода прямоугольников в данном случае равна

= |39 - 37 , 955| = 1 ,045

Пример 2. Используя метод прямоугольников, вычислить с заданным шагом х = 0,05.

Сравнивая полученное приближённое значение с истинным значением интеграла , можно видеть, что ошибка приближения метода прямоугольников в данном случае равна

Метод трапеций обычно даёт более точное значение интеграла, чем метод прямоугольников. Криволинейная трапеция заменяется на сумму нескольких трапеций и приближённое значение определённого интеграла находится как сумма площадей трапеций

[Рисунок3]

Пример 3. Методом трапеций найти с шагом х = 0,1.

1. Открываем чистый рабочий лист.
2. Составляем таблицу данных (х и f(x)). Пусть первый столбец будет значениями х , а второй соответствующими показателями f(x). Для этого в ячейку А1 вводим слово Аргумент , а в ячейку В1 – слово Функция . В ячейку А2 вводится первое значение аргумента – левая граница диапазона (0 ). В ячейку А3 вводится второе значение аргумента – левая граница диапазона плюс шаг построения (0,1 ). Затем, выделив блок ячеек А2:А3, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А33, до значения х=3,1 ).
3. Далее вводим значения подынтегральной функции. В ячейку В2 необходимо записать её уравнение (в примере синуса). Для этого табличный курсор необходимо установить в ячейку В2. Здесь должно оказаться значение синуса, соответствующее значению аргумента в ячейке А2. Для получения значения синуса воспользуемся специальной функцией: нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции f(x) . В появившемся диалоговом окне Мастер функции-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция - функцию SIN . Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно SIN . Наведя указатель мыши на серое поле окна, при нажатой левой кнопке сдвигаем поле вправо, чтобы открыть столбец данных (А ). Указываем значение аргумента синуса щелчком мыши на ячейке А2. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В2 появляется 0. Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В2. Автозаполнением копируем эту формулу в диапазон В2:В33. В результате должна быть получена таблица данных для нахождения интеграла.
4. Теперь в ячейке В34 может быть найдено приближённое значение интеграла по методу трапеций. Для этого в ячейку В34 вводим формулу = 0,1*((В2+В33)/2+, затем вызываем Мастер функций (нажатием на панели инструментов кнопки Вставка функции (f(x)) . В появившемся диалоговом окне Мастер функции-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция - функцию Сумм. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно Сумм. В рабочее поле мышью вводим диапазон суммирования В3:В32. Нажимаем кнопку ОК и ещё раз ОК. В ячейке В34 появляется приближённое значение искомого интеграла с недостатком (1,997 ) .

Сравнивая полученное приближённое значение с истинным значением интеграла можно видеть, что ошибка приближения метода прямоугольников в данном случае вполне приемлемая для практики.

1. Решение упражнений.